题目内容
已知，如图①，∠MON=60°，点A、B为射线OM、ON上的动点（点A、B不与点O重合），且AB=
，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.
（1）求AP的长；
（2）求证：点P在∠MON的平分线上；
（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.
①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长；
②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．
，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°. （1）求AP的长；
（2）求证：点P在∠MON的平分线上；
（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.
①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长；
②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．
（1）4；（2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，根据四边形的内角和定理可得∠SPT的度数，即可得到∠APS=∠BPT，再结合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可证得△APS≌△BPT，从而证得结论；（3）①8+4
；②4+4＜t≤8+4
；②4+4＜t≤8+4试题分析：（1）过点P作PQ⊥AB于点Q，先根据等腰三角形的性质求得AQ的长，∠APQ的度数，在Rt△APQ中，根据∠APQ的正弦函数即可求得结果；
（2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，根据四边形的内角和定理可得∠SPT的度数，即可得到∠APS=∠BPT，再结合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可证得△APS≌△BPT，从而证得结论；
（3）根据三角形的中位线定理即可求得结果.
（1）过点P作PQ⊥AB于点Q
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4
，∴AQ=
AB=×4=2，∠APQ=∠APB=×120°=60°在Rt△APQ中，sin∠APQ=
∴AP=
＝4（2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T
∴∠OSP=∠OTP=90°
在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°
∴∠APS=∠BPT
又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，
∴△APS≌△BPT
∴PS=PT
∴点P在∠MON的平分线上；
（3）①8+4
②4+4
＜t≤8+4.点评：解答本题的关键是读懂题意及图形，正确作出辅助线，同时熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
练习册系列答案
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=1:3，求坝底宽AD的长.（结果保留根号）
，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点
，点
，点
为
边上的动点（点
、
重合），经过点
、
和折痕
．设
．
时，求点
上，得点
和折痕
，若
，试用含有
的式子表示
；
上时，求点
处观测到河对岸水边有一点
，测得
的方向上，沿河岸向北前行40米到达
处，测得
的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：
）
如图放置，则tan
)2＋4×tan45°－24＋sin30°
，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_________
.(结果精确到0.1
，
).