Question

【题目】如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 在 AD 上，且 DE=CD，连接 OE，BE， ABE ACB ，若 AE=2，则 OE 的长为___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作∠ACB的平分线CG交BE于G，AC与BE交于点F，首先证明CB＝CF，AF＝AE＝2，然后在Rt△ABC中利用勾股定理构建方程求出DE＝CD＝AB＝6，BC＝CF＝AD＝8，BD＝AC＝10，过点E作EH⊥BD于H，证明△EHD∽△BAD，利用相似三角形的性质求出EH和DH，进而可得OH，再利用勾股定理求OE即可．

解：作∠ACB的平分线CG交BE于G，AC与BE交于点F，

∵ABE＝ACB，GCB＝ACB，

∴ABE＝GCB，

∵ABE＋∠EBC＝90°，

∴GCB＋∠GBC＝90°，

∴CG⊥BE，

∵CG平分∠ACB，

∴CB＝CF，

∴∠FBC＝∠BFC＝∠AFE，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠FBC，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴AF＝AE＝2，

设DE＝CD＝AB＝x，则BC＝CF＝AD＝x+2，AC＝x+2+2＝x+4，

在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+(x+2)2＝(x+4)2，

解得：x＝6（负值已舍去），

∴DE＝CD＝AB＝6，BC＝CF＝AD＝8，BD＝AC＝10，

过点E作EH⊥BD于H，

∵∠EHD＝∠BAD，∠EDH＝∠BDA，

∴△EHD∽△BAD，

∴，即，

∴，，

∴OH＝OD－DH＝BD－DH＝，

∴，

故答案为：．