题目内容

(1)如图(1),在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,易知AC⊥BD,
CO
AC
=
1
2

(2)如图(2),若点E是正方形ABCD的边CD的中点,即
DE
DC
=
1
2
,过D作DG⊥AE,分别交AC、BC于点F、G.求证:
CF
AC
=
1
3

(3)如图(3),若点P是正方形ABCD的边CD上的点,且
DP
DC
=
1
n
(n为正整数),过点D作DN⊥AP,分别交AC、BC于点M、N,请你先猜想CM与AC的比值是多少,然后再证明你猜想的结论.
(2)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=DC,
∴∠1+∠ADG=90°,
又∵DG⊥AE,
∴∠2+∠ADG=90°,
∴∠1=∠2,
∵AD=DC,∠1=∠2,∠ADE=∠DCG=90°,
∴△ADE≌△DCG(ASA),
∴CG=DE,
又∵E为BC中点,
∴CG=DE=
1
2
DC,
∴CG=
1
2
AD,
∵BCAD,
CG
AD
=
CF
AF
=
1
2

CF
AC
=
1
3
;(8分)

(3)猜想
CM
AC
=
1
n+1
;(10分)
同理可证
CN
BC
=
DP
DC
=
1
n

又∵BCAD,
CM
AM
=
CN
AD
=
1
n

CM
AC
=
1
n+1
.(14分)
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