题目内容
已知:如图,C为半圆上一点,
=
,过点C作直径AB的垂线CP,P为垂足,弦AE分别交PC,CB于点D,F.
(1)求证:AD=CD;
(2)若DF=
,tan∠ECB=
,求PB的长.
AC |
CE |
(1)求证:AD=CD;
(2)若DF=
5 |
4 |
3 |
4 |
(1)证明:连接AC,
∵
=
,
∴∠CEA=∠CAE.
∵∠CEA=∠CBA,
∴∠CBA=∠CAE.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠ACP+∠PCB=90°,
∵CP⊥AB,
∴∠PCB+∠CBA=90°,
∴∠CBA=∠ACP,
∴∠CAE=∠ACP
∴AD=CD.(4分)
(2)∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP,
∴∠DCF=∠CFD.
∴AD=CD=DF=
.(5分)
∵∠ECB=∠DAP,tan∠ECB=
,
∴tan∠DAP=
=
.(6分)
∵DP2+PA2=DA2
∴DP=
,PA=1.
∴CP=2.(7分)
∵∠ACB=90°,CP⊥AB,
∴△APC∽△CPB.(8分)
∴
=
.
∴PB=4.(9分)
∵
AC |
CE |
∴∠CEA=∠CAE.
∵∠CEA=∠CBA,
∴∠CBA=∠CAE.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠ACP+∠PCB=90°,
∵CP⊥AB,
∴∠PCB+∠CBA=90°,
∴∠CBA=∠ACP,
∴∠CAE=∠ACP
∴AD=CD.(4分)
(2)∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP,
∴∠DCF=∠CFD.
∴AD=CD=DF=
5 |
4 |
∵∠ECB=∠DAP,tan∠ECB=
3 |
4 |
∴tan∠DAP=
DP |
PA |
3 |
4 |
∵DP2+PA2=DA2
∴DP=
3 |
4 |
∴CP=2.(7分)
∵∠ACB=90°,CP⊥AB,
∴△APC∽△CPB.(8分)
∴
AP |
PC |
PC |
PB |
∴PB=4.(9分)
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