Question

（1）如图（a），已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC、AD．求证：①∠BAD=∠CAG；②AC•AD=AE•AF；
（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其他条件不变．
①请你在图（b）中画出变化后的图形，并对照图（a），标记字母；
②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：
①连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠AGC=∠ADB=90°．
又∵ACDB是⊙O内接四边形，
∴∠ACG=∠B．
∴∠BAD=∠CAG．
②连接CF，
∵∠BAD=∠CAG，∠EAG=∠FAB，
∴∠DAE=∠FAC．
又∵∠ADC=∠F，
∴△ADE∽△AFC．
∴

AD

AF

=

AE

AC

．
∴AC•AD=AE•AF．

（2）①如图；
②两个结论都成立，证明如下：
①连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACB=∠AGC=90°．
∵GC切⊙O于C，
∴∠GCA=∠ABC．
∴∠BAC=∠CAG（即∠BAD=∠CAG）．
②连接CF，
∵∠CAG=∠BAC，∠GCF=∠GAC，
∴∠GCF=∠CAE，∠ACF=∠ACG-∠GCF，∠E=∠ACG-∠CAE．
∴∠ACF=∠E．
∴△ACF∽△AEC．
∴

AC

AE

=

AF

AC

．
∴AC²=AE•AF（即AC•AD=AE•AF）．