Question

【题目】如图，已知，⊙O的半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，点P在OC的延长线上，连结AP，AC平分∠PAB．

(1)求证：PA是⊙O的切线；

(2)若sinP=，AB=16,求⊙O的半径长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)10.

【解析】

（1）由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，∠PAC=∠BAC，由直角三角形的性质可得∠PAC+∠OAC=90°，即可证PA是⊙O的切线；

（2）根据切线的性质得到OA⊥AP，求得∠OAE=∠P，根据已知条件得到sinP=sin∠OAE=，设OE=3x，AO=5x，求得AE=4x，于是得到结论．

（1）连接OA，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠PAB，

∴∠PAC=∠BAC，

∵OC垂直于弦AB，

∴∠BAC+∠OCA=90°，

∴∠PAC+∠OAC=90°，

∴OA⊥PA，且OA是半径，

∴PA是⊙O的切线；

（2）∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∵OC垂直于弦AB，

∴∠BAO+∠O=∠P+∠O=90°，

∴∠OAE=∠P，

∵sinP=，

∴sinP=sin∠OAE=，

设OE=3x，AO=5x，

∴AE=4x，

∵AB=2AE=16，

∴x=2，

∴AO=10，

∴⊙O的半径长为10．