Question

如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE∶EA=5∶3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，则（1）AB=     ▲     ，BC=    ▲   ；（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积=  ▲     ．

Answer 1

AB=24，BC=30，⊙O的面积=100．（1+1+2分）

（1）求线段的长度问题，题中可先设其长度为k，然后利用三角形相似建立平衡关系，再用勾股定理求解即可．
（2）连接OB，由⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则BE=EF，BC=CF；再由BE：EA=5：3可以设BE=5x，EA=3x，则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，CF²=CD²+DF²，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；在Rt△EBC中，由勾股定理可求得x的值，再由面积S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC求得⊙O半径，求出面积．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，
∴∠AFE+∠AEF=90°
∵F在AD上，∠EFC=90°
∴∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AEF=∠DFC
∴△AEF∽△DFC
∴=．
∵BE：EA=5：3
设BE=5k，AE=3k
∴AB=DC=8k，
由勾股定理得：AF=4k，
∴=
∴DF=6k
∴BC=AD=10k
在△EBC中，根据勾股定理得BE²+BC²=EC²
∵CE=15，BE=5k，BC=10k
∴(5k)²+(10k)²=(15)²
∴k=3
∴AB=8k=24，BC=10k=30
（2）连接OB，
由于⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则BE=EF，BC=CF；
由BE：EA=5：3，设BE=5x，EA=3x，
则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF²=CD²+DF²，即CF²=（8x）²+（CF-4x）²，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；
在Rt△EBC中，EB²+BC²=EC²，即（5x）²+（10x）²=15 ²，
解得：x=3，则BE=15，BC=30．
再由S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC，则×BE×BC=×BE×r+×BC×r，
解得：r=10；
则⊙O的面积为πr²=100π．
本题考查了矩形的性质，会解决一些简单的翻折问题，能够利用勾股定理求解直角三角形；同时也考查了切线的性质及勾股定理的应用，难度稍大，解题时要理清思路．