题目内容
【题目】如图，一条顶点坐标为
的抛物线与y轴交于点C(0，5)．与x轴交于点A和点B(点B在点A右侧)，有一宽度为1．长崖足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q(点P在点Q右侧)，交直线AC于点M和点N(点M在点N右侧)，交x轴于点E和点F(点E在点F右侧)
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点M和点N都在线段AC上时，连接MF，如果
，求点Q的坐标；
(3)在矩形平移的过程中，当以点P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
或
【解析】
（1）设抛物线为 y＝a(x＋1)2＋
，把点（0，5）代入即可解决问题．
（2）作FD⊥AC于D，设AF＝m，则MF＝
m，ME＝AE＝m＋1，列出方程求出m的值即可解决问题．
（3）设F（t，0），E（t＋1，0），N（t，t＋5），M（t＋1，t＋6），Q(t，
)，P(t＋1，
)．①当MN是对角线时，由QN＝PM，列出方程即可解决问题．②点 Q，P在直线 AC异侧时，QN＝MP，解方程即可．
（1）根据题意，抛物线顶点为(1，)，
设抛物线为 y＝a(x＋1)2＋．
抛物线过点 C（0，5），代入得5=a(0＋1)2＋
解得a＝
，
抛物线解析式为y＝ (x＋1)2＋＝
．
（2）令y=0,即=0，
解得x1=-5,x2=3
∴A（5，0），B（3，0）．
如图，作FD⊥AC于D，
∵OA＝5，
∴∠CAO＝45
．
设AF＝m，则MF＝m，ME＝AE＝m＋1．
在△MEF中，FM2＝ME2＋EF2，
∴(m)2＝(m＋1)2＋12，
解得m1＝2，m2＝
（不符合题意，舍去）．
∴AF＝2，
∴点Q的横坐标为3．
又点Q在抛物线 y＝ (x＋1)2＋上，
当x=-3时，y=4
∴Q（3，4），
（3）设直线 AC的解析式 y＝kx＋n，把A（5，0），C（0，5）代入得
解得： 
∴直线 AC的解析式 y＝x＋5．
由已知，点 Q，N，F及点 P，M，E横坐标分别相同．
设F（t，0），E（t＋1，0），N（t，t＋5），M（t＋1，t＋6），Q(t，)，P(t＋1，)．
在矩形平移过程中，以P，Q，N，M为顶点的平行四边形有两种情况：
①点Q，P在直线 AC同侧时，QN＝PM．
∴()(t＋5)＝()(t＋6)，
解得：t＝3．
∴M（2，3）．
②点 Q，P在直线 AC异侧时，QN＝MP．
∴()(t＋5)＝(t＋6)( )，
解得 t1＝3＋
，t2＝3，
∴M(2＋，3＋)，或(2，3)．
∴符合条件的点M是（2，3），(2＋，3＋)，或(2，3)．
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