Question

【题目】如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.

（1）试求、的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？

②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？

Answer 1

【答案】（1），；（2） ①当点运动到距离点个单位长度处，有；②当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.

【解析】

（1）根据一次函数解析式求出A和C的坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B的坐标，根据平行四边形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法即可得出二次函数的表达式；

（2）①设点P运动了t秒，PQ⊥AC，进而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，即可得出答案；

②将问题化简为△APQ的面积的最大值，根据几何关系列出关于时间的二次函数，根据二次函数的性质，求出函数的最大值，即求出△APQ的面积的最大值，进而求出四边形PDCQ面积的最小值.

解：（1）由，

令，得，所以点；

令，得，所以点，

∵是以为底边的等腰三角形，

∴点坐标为，

又∵四边形是平行四边形，

∴点坐标为，

将点、点代入二次函数，可得，

解得：，

故该二次函数解析式为：.

（2）∵，，

∴.

①设点运动了秒时，，此时，，，

∵，

∴，，

∴，

∴，即，

解得：.

即当点运动到距离点个单位长度处，有.

②∵，且，

∴当的面积最大时，四边形的面积最小，

当动点运动秒时，，，，

设底边上的高为，作于点，

由可得：，

解得：，

∴，

∴当时，达到最大值，此时，

故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.