Question

已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB,AC相交于D点，双曲线y= （x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：①菱形OABC的面积为80；   ②E点的坐标是（4，8）；③双曲线的解析式为y= （x＞0）；  ④,其中正确的结论有（      ）个。

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

C.

试题分析：过点C作CF⊥x轴于点F，由OB•AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB•AC=160即可求出OB的长．

过点C作CF⊥x轴于点F，
∵OB•AC=160，A点的坐标为（10，0），
∴，菱形OABC的面积为80，故①正确；
又菱形OABC的边长为10，
∴CF=
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴，
∴C（6，8），
∵点D时线段AC的中点，
∴D点坐标为（，），即（8，4），
∵双曲线y=（x＞0）经过D点，
∴4=，即k=32，
∴双曲线的解析式为：y=（x＞0），故③错误；
∵CF=8，
∴直线CB的解析式为y=8，
∴，解得x=4，y=8，
∴E点坐标为（4，8），故②正确；
∵CF=8，OC=10，
∴，故④正确；
故选C．
考点: 反比例函数.