Question

如图，P₁是反比例函数在第一象限图象上的一点，已知△P₁O A₁为等边三角形，点A₁的坐标为(2，0)．

（1）直接写出点P₁的坐标；
（2）求此反比例函数的解析式；
（3）若△P₂A₁A₂为等边三角形，求点A₂的坐标．

Answer 1

（1）P₁(1，)；（2）；（3）（,0）.

试题分析：（1）由于△P₁OA₁为等边三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P₁的坐标；
（2）根据点P₁是反比例函数y=（k＞0）图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；
（3）作P₂D⊥A₁A₂，垂足为D．设A₁D=a，由于△P₂A₁A₂为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P₂的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A₂点的坐标．
试题解析：（1）P₁(1，)；
（2）∵P₁在反比例函数（＞0）图象上，∴,
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（3）设等边三角形P₂ A₁ A₂的边长为a(a＞0)，则A₂（2+a,0）.
如图，过P₂作P₂H⊥x轴，垂足为点H.

∴A₁H=a，P₂H= P₂ A₁sin∠P₂A₁H=a·sin60⁰=,
∴P₂(2+a,). 
∵ P₂在反比例函数图象上，∴=，
即，解得：，（舍去）
∴2+a=,∴A₂（,0）
考点: 反比例函数综合题.