Question

【题目】如图(1)，在中，，，，若动点P从点A开始沿着的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P运动的时间为t秒.

(1)当时，的面积是___________；

(2)如图(2)当t为何值时，AP平分；

(3)当t为何值时，为等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）45；（2）；（3）t=2.5秒或25或26.5或23.75.

【解析】

（1）当t=3时，求出AP的长，再根据三角形面积公式即可得出结果；

（2）作PD⊥AB于D，由勾股定理求出AB的长，由角平分线性质得出PD=PC=2t-20（cm），AD=AC=20cm，求出BD的长，得出PB=BC-PC=35-2t（cm），在Rt△PBD中，由勾股定理求出t的值即可；

（3）由于点P是动点，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质即可得出结果．

（1）当t=3时，AP=2×3=6（cm），

△ABP的面积=AP×BC=×6×15=45（cm2）；

故答案为：45cm2；

（2）作PD⊥AB于D，如图2所示：

∵在△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，

∴AB=（cm），

∵AP平分∠CAB，

∴PD=PC=2t-20（cm），AD=AC=20cm，

∴BD=AB-AD=5cm，

∴PB=BC-PC=15-（2t-20）=35-2t（cm），

在Rt△PBD中，由勾股定理得：BD2+PD2=PB2，

即52+（2t-20）2=（35-2t）2，

解得：t=，

∴当t为时，AP平分∠CAB；

（3）当点P在AC上时，CP=CB=15cm，

∴AP=AC-CP=5cm，

∴t=2.5秒；

当点P在AB上时，分三种情况：

若BP=BC=15cm，t=（20+15+15）÷2=25（秒）；

若CP=BC=15cm，

作CM⊥AB，则BM=PM，

∵∠B=∠B，∠BMC=∠BCA，

∴△ABC∽△CBM，

∴，即，

解得：CM=12cm，BM=9cm，

∴PB=2BM=18cm，

∴t=（20+15+18）÷2=26.5（秒）；

若PC=PB，则∠B=∠BCP，

∵∠B+∠A=90°，∠BCP+∠ACP=90°，

∴∠A=∠ACP，

∴AP=CP=BP=AB=12.5cm，

∴t=（20+15+12.5）÷2=23.75（秒）；

综上所述，当t=2.5秒或25或26.5或23.75秒时，△BCP为等腰三角形．