Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．
（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；
（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图2中，

∵AM=ME．AD=DB，

∴DM∥BE，

∴∠GDN+∠DNE=180°，

∵∠GDN=∠AEB，

∴∠AEB+∠DNE=180°，

∴AE∥DN，

∴四边形DMEN是平行四边形，

∵DM= BE，EM= AE，AE=BE，

∴DM=EM，

∴四边形DMEN是菱形

（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．

由（1）可知四边形EMDF是菱形，

∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，

∴∠GDN=∠AEB，

∴∠MDF=∠GDN，

∴∠MDG=∠FDN，

∵∠DFN=∠AEB=∠MCE，∠GMD=∠EMD+∠CME，、

在Rt△ACE中，∵AM=ME，

∴CM=ME，

∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，

∴∠DMG=∠DFN，

∴△DMG≌△DFN，

∴DG=DN．

【解析】（1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME=MD即可证明．（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．只要证明△DMG≌△DFN即可．