Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接CH，

由轴对称得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO

∴在△CHA中由勾股定理，得

AC2=CH2+AH2

∵直线y= x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，

∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=8

∴B（0，6），A（8，0）

∴OB=6，OA=8，

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AB=10

设C（a，0），∴OC=a

∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在Rt△AHC中，

由勾股定理，得

（8﹣a）2=a2+42解得

a=3

C（3，0）

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，由题意，得

解得：

∴抛物线的解析式为：y= x2 +6，

∴y=

（2）

解：由（1）的结论，得

D（ ，﹣ ）

∴DF= ，

设BC的解析式为：y=kx+b，则有

解得：

直线BC的解析式为：y=﹣2x+6

设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P（m，n）

作PE⊥OA于E，HD交OA于F．

∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA

∴∠POE=∠DAF

∴△OPE≌△ADF

∴PE=DF=n= ，

∴ =﹣2x+6

∴

P（ ， ）

当x= 时，

y=﹣2× +6=1≠

∴点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P

（3）

解：由题意得，平移后的解析式为：

y= （x﹣2）2

∴对称轴为：x=2，

当x=0时，y=﹣

当y=0时，0= （x﹣2）2

解得：x1= ；x2=

∵F在N的左边

F（ ，0），E（0，﹣ ），N（ ，0）

连接EF交x=2于Q，设EF的解析式为：y=kx+b，则有

解得：

∴EF的解析式为：y=﹣ x﹣

∴

解得：

∴Q（2，﹣ ）．

【解析】（1）根据轴对称和角平分线的性质以及勾股定理可以求出OC的长度，从而求出点C的坐标．再根据直线的解析式求出A、B的坐标，最后利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．（2）根据（1）的解析式可以转化为顶点式而求出顶点坐标D，利用B、C的坐标求出BC的解析式，假设在直线BC上存在满足条件的点P，利用平行四边形的性质和三角形全等的性质求出点P的坐标，得到点P不在直线BC上，而得出结论．（3）平移后根据（1）的解析式可以得到平移后的解析式，顶点坐标及对称轴，可以求出与坐标轴的交点F、N、E的坐标，连接EF，根据E、F的坐标求出其解析式，求出EF与对称轴的交点，就是Q点．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．