Question

【题目】如图所示，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.
（1）求证：四边形ABEF是菱形.
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：证明∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AE是角平分线，

∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．

∴AF=BE．

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AB=BE，

∴四边形ABEF是菱形．

（2）解：作OH⊥AD于H，如图所示

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，

∴AB=AF=4，AP⊥BF，

∴∠ABF=∠AFB=30°，

∴AP= AB=2，

∴PH= ，AH=1，DH=AD-AH=5，

∴tan∠ADP= = .

【解析】（1）由平行四边形的性质和角平分线的定义得∠BAE=∠AEB．证出AB=BE．同理AB=AF．得出AF=BE．证出四边形ABEF是平行四边形即可得出结论．（2）作OH⊥AD于H，由菱形的性质得出AB=AF=4，∠ABC=60°，AO⊥BF，∠ABF=∠AFB=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出AO= AB=2，求出OH、DH，即可得出结果。
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能正确解答此题．