Question

如图1，△ABC的边BC在直线上，AC ⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，且EF=FP.
（1）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想  BQ   与AP所满足的数量关系和位置关系。（直接写出结论）
AP           BQ,AP           BQ；   （4分）
（2）将△EFP沿直线向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．（6分）

Answer 1

（1）BQ=AP，BQ⊥AP．
（2）关系仍然成立：BQ=AP，BQ⊥AP．间解析

试题分析：（1）延长BQ交AP于点M，根据等腰直角三角板的每一个锐角都是45°可得∠EPF=45°，然后求出∠CQP=45°，根据等角对等边的性质求出CQ=CP，然后利用边角边定理证明△BCQ与△ACP全等，再根据全等三角形对应边相等，即可证明BQ=AP，对应角相等可得∠CBQ=∠CAP，又∠CBQ+∠BQC=90°，所以∠CAP+∠AQM=90°，从而得到BQ⊥AP；
（2）延长QB交AP于点M，根据等腰直角三角板的每一个锐角都是45°可得∠EPF=45°，根据对顶角相等得到∠CPQ=45°，然后求出∠CQP=45°，根据等角对等边的性质求出CQ=CP，然后利用边角边定理证明△BCQ与△ACP全等，再根据全等三角形对应边相等，即可证明BQ=AP，对应角相等可得∠BQC=∠APC，又∠CBQ+∠BQC=90°，所以∠PBM+∠APC=90°，从而得到BQ⊥AP．
点评：本题要求熟练掌握等腰直角三角形的两直角边相等，每一个锐角都是45°的性质，全等三角形的判定与性质，题目不比较复杂但思路比较清晰，此类题目一般都是下一问继续沿用第一问的证明思路进行求解．