题目内容
16．
如图是第七届国际数学教育大会的会徽示意图，主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．其中的第一个三角形OA1A2是等腰直角三角形，且OA1=A1A2=A2A3…=A8A9=1．（1）根据图示，求出OA2的长为$\sqrt{2}$；OA4的长为2；OA6的长为$\sqrt{6}$．
（2）如果按此演变方式一直连续作图到△OAn-1An，则线段OAn的长和△OAn-1An的面积分别是多少？（用含n的代数式表示）
（3）若分别用S1，S2，S3…S100表示△OA1A2，△OA2A3，△OA3A4…△OA99A100的面积，试求出S12+S22+S32+…+S1002的值．
分析 （1）利用勾股定理依次计算即可；
（2）依据（1）的计算找出其中的规律可得到OAn的长，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△OAn-1An的面积即可；
（3）首先依据题意列出算式，然后再求解即可．
解答 解：（1）OA2=$\sqrt{O{{A}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{A}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OA3=$\sqrt{O{{A}_{2}}^{2}+{A}_{2}{{A}_{3}}^{2}}$=$\sqrt{3}$，OA4=$\sqrt{O{{A}_{3}}^{2}+{A}_{3}{{A}_{4}}^{2}}$=$\sqrt{4}$=2，
…
OA6=$\sqrt{6}$
故答案为：$\sqrt{2}$；2；$\sqrt{6}$．
（2）由（1）可知：OAn=$\sqrt{n}$．
S1=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
S2=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
S3=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
…
△OAn-1An的面积=$\frac{\sqrt{n-1}}{2}$．
（3）S12+S22+S32+…+S1002=（$\frac{1}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）2+…+（$\frac{\sqrt{100}}{2}$）2=$\frac{1+2+3+…+100}{4}$=1262.5．
点评 此题主要考查的是等腰直角三角形的性质以及勾股定理的运用和利用规律的探查解决问题，找出其中的规律是解题的关键．
如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（1，-1），点C坐标为（4，0），以BC为边在BC的上方作一个正方形ABCD，点A在y轴上，过点A，B，C作一条抛物线．| A． | 7℃ | B． | 8℃ | C． | 9℃ | D． | 10℃ |