题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，连接AC、BC，且∠ACB＝90°．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图（1），若N是AC的中点，M是BC上一点，且满足CM＝2BM，连AM、BN相交于点E，求点M的坐标和△EMB的面积；
（3）如图（2），将△AOC沿直线BC平移得到△A′O′C′，再将△A′O′C′沿A′C′翻折得到△A′O′C′，连接AO′，AC′，请问△AO′C′能否构成等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点C的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）C的坐标为（
）或（
，
）或（
）．
【解析】
（1）∠ACB＝90°，则OC2＝OA×OB＝3，则点C（0，﹣
），即可求解；
（2）证明则S△BEM＝S＝
S△ABM，即可求解；
（3）分O″C′＝AO″、O″C′＝AC′、AO″＝AC′，三种情况，分别求解即可．
解：（1）∵∠ACB＝90°，
∠OBC+∠OCB＝90°，∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠OBC＝∠ACO，
∴△COB∽△AOC，∴OC2＝OA×OB＝3，
则点C（0，﹣），则∠ACO＝30°，
则二次函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即：﹣3a＝﹣，则a＝
，
则抛物线的表达式为：；
（2）点C（0，﹣）、点B（0，3），
∵CM＝2BM，点M（2，
），
连接CE，∵若N是AC的中点，
∴S△ABN＝S△CBN，S△AEN＝S△CEN，
∴S△EBA＝S△EBC，
设：S△BEM＝S，∵CM＝2BM，S△CBE＝3S＝S△EBA，
则S△BEM＝S＝S△ABM＝
＝；
（3）能，理由：
如图2，过点C′作x轴的平行线交过点O″与y轴的平行线于点H，
∵∠AOC＝30°，∴∠O″C′H＝30°，即：∠HC′O′＝90°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线BC的表达式为：
，
设点C′（n，
），则HC′＝C′O″cos30°＝
，
HO″＝
，则点O″（
，
），
则O″C′2＝3，AO″2＝
+
2，AC′2＝（n+1）2+
①当O″C′＝AO″时，3＝+
，解得：
；
②当O″C′＝AC′时，无解；
③当AO″＝AC′时，同理可得：
；
故点C的坐标为（
，
）或（，）或（
，
）．
