Question

如图，一元二次方程x²+2x-3=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，则P点坐标为______，G点坐标为______；
（3）在x轴上有一动点M，当MG+MA取得最小值时，求点M的坐标．

Answer 1

（1）解方程x²+2x-3=0
得x₁=-3，x₂=1．
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）．
∵A（3，6）在抛物线上，
∴6=a（3+3）•（3-1），
∴a=

1

2

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

x²+x-

3

2

．

（2）由y=

1

2

x²+x-

3

2

=

1

2

（x+1）²-2，
∴抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴方程为x=-1．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，6），C（-3，0）在该直线上，
∴

3k+b=6 -3k+b=0

解得

b=3 k=1

，
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
将x=-1代入y=x+3
得y=2，
∴G点坐标为（-1，2）．

（3）作A关于x轴的对称点A′（3，-6），
连接A′G，A′G与x轴交于点M即为所求的点．
设直线A′G的解析式为y=kx+b．
∴

3k+b=-6 -k+b=2

解得

b=0 k=-2

，
∴直线A′G的解析式为y=-2x，令x=0，则y=0．
∴M点坐标为（0，0）．