Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x²+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12）．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点C为OA的中点，求BC的长；
（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式．

Answer 1

（1）∵点A（a，12）在直线y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵点A是抛物线y=

1

2

x²+bx上的一点，
将点A（6，12）代入y=

1

2

x²+bx，可得b=-1，
∴抛物线解析式为y=

1

2

x²-x．

（2）∵点C是OA的中点，
∴点C的坐标为（3，6），
把y=6代入y=

1

2

x²-x，
解得：x₁=1+

13

，x₂=1-

13

（舍去），
故BC=1+

13

-3=

13

-2．

（3）∵直线OA的解析式为：y=2x，
点D的坐标为（m，n），
∴点E的坐标为（

1

2

n，n），点C的坐标为（m，2m），
∴点B的坐标为（

1

2

n，2m），
把点B（

1

2

n，2m）代入y=

1

2

x²-x，可得m=

1

16

n²-

1

4

n，
∴m、n之间的关系式为m=

1

16

n²-

1

4

n．