Question

在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是______；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是______；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵?ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴点O是?ABCD的对称中心；
∴EO=FO，GO=HO；
∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形；

（3）菱形；
由（2）知四边形EGFH是菱形，
当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；

（4）四边形EGFH是正方形；
证明：∵AC=BD，
∴?ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，
∴?ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG=OF，同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
由（3）知四边形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四边形EGFH是正方形．