Question

如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．
（1）求证：△BCF≌△DCE；
（2）求证：BF=DE，BF⊥DE；
（3）若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG：GC的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠BCF+∠FCD=90°，
∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，
∴∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠BCF=∠ECD．
在△BCF和△DCE中，

BC=DC ∠BCF=∠DCE CF=CE

，
∴△BCF≌△DCE（SAS）；

（2）证明：延长BF交DE于H，
∵△BCF≌△DCE，
∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，
∵∠CBF+∠1=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠CDE=90°，
∴∠DHF=90°，
∴BF⊥DE；

（3）在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，
∴BF=

BC2-CF2

=

52-32

=4．
∵△BCF≌△DCE，
∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°．
∴DE∥FC．
∴△DGE∽△CGF．
∴DG：GC=DE：CF=4：3．