题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,点A的坐标为,以线段OA为边作等边三角形
,使点B落在第四象限内,点C为x正半轴上一动点,连接BC,以线段BC为边作等边三角形
,使点D落在第四象限内.
(1)如图1,在点C运动的过程巾,连接AD.
①和
全等吗?请说明理由:
②延长DA交y轴于点E,若,求点C的坐标:
(2)如图2,已知,当点C从点O运动到点M时,点D所走过的路径的长度为_________
【答案】(1)①全等,见解析;②点C(6,0);(2)6.
【解析】
(1)①先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60°,OB=BA,BC=BD,则∠OBC=∠ABD,然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD;
②由全等三角形的性质可得∠BAD=∠BOC=∠OAB=60°,可得∠EAO=60°,可求AE=2OA=4,即可求点C坐标;
(2)由题意可得点E是定点,点D在AE上移动,点D所走过的路径的长度=OC=6.
解:(1)①△OBC和△ABD全等,
理由是:
∵△AOB,△CBD都是等边三角形,
∴OB=AB,CB=DB,∠ABO=∠DBC,
∴∠OBC=∠ABD,
在△OBC和△ABD中,
∴△OBC≌△ABD(SAS);
②∵△OBC≌△ABD,
∵∠BAD=∠BOC=60°,
又∵∠OAB=60°,
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°,
∴Rt△OEA中,AE=2OA=4
∴OC=OA+AC=6
∴点C(6,0);
(2)∵△OBC≌△ABD,
∵∠BAD=∠BOC=60°,AD=OC,
又∵∠OAB=60°,
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°,
∴AE=2OA=4,OE=2
∴点E(0,2)
∴点E不会随点C位置的变化而变化
∴点D在直线AE上移动
∵当点C从点O运动到点M时,
∴点D所走过的路径为长度为AD=OC=6.
故答案为:(1)①全等,见解析;②点C(6,0);(2)6.
