Question

AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点．求证：PA=QB

Answer 1

通过证明∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM． 故OP= OQ.从而，MP="MQ." 又MA=MB，所以，PA=QB.

试题分析：如图，联结OM、OP 、OQ、OC、OD.因为PC,为0 D的切线（已知）
，M为弦AB的中点，所以OM⊥AB，垂足为点M。则∠PCO=∠PMO=90°。
 
根据四点共圆判定：共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等，所以，P、C、M、O四点共圆．则 同理圆内接四边形的对角互补，易知∠OMB=∠ODQ=90°，所以它们对角互补。则Q、D、O、M四点共圆．所以则有∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM．
易知OP=OQ.所以，MP="MQ." 又因为MA=MB，所以，PA=QB.
点评：本题难度较低，主要考查学生对圆的切线性质及四点共圆的判定与性质等知识点的掌握。