Question

如图，已知经过原点的抛物线y=-2x²+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．
（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．

Answer 1

（1）令-2x²+4x=0，
得x₁=0，x₂=2
∴点A的坐标为（2，0）
△PCA是等腰三角形．

（2）存在．
OC=AD=m，OA=CD=2．

（3）如图，当0＜m＜2时，作PH⊥x轴于H，
设P（x_P，y_P）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=2-m，
∴CH=

AC

2

=

2-m

2

∴x_P=OH=m+

2-m

2

=

m+2

2

把x_P=

m+2

2

代入y=-2x²+4x，
得y_P=-

1

2

m²+2
∵CD=OA=2
∴S=

1

2

CD•HP=

1

2

•2•（-

1

2

m²+2）=-

1

2

m²+2
如图，当m＞2时，作PH⊥x轴于H，
设P（x_P，y_P）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=m-2，
∴AH=

m-2

2

∴x_P=OH=2+

m-2

2

=

m+2

2

把x_P=

m+2

2

代入y=-2x²+4x，得
y_P=-

1

2

m²+2
∵CD=OA=2
∴S=

1

2

CD•HP=

1

2

•2•(-yP)=

1

2

m²-2．
综上可得：S=

- 1 2 m2+2(0＜m＜2) 1 2 m2-2(m＞2)

．