Question

已知，开口向上的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-6，0），另一个交点是B，与y轴的交点是C，且抛物线的顶点的纵坐标是-2，△AOC的面积为6

3

（1）求点B、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）M点从点A出发向点C以每秒

3

2

个单位匀速运动．同时点P以每秒2个单位的速度从A点出发，沿折线AB、BC向点C匀速运动，在运动的过程中，设△AMP的面积为y，运动的时间为x，求y与x的函数关系式及y的最大值；
（4）在运动的过程中，过点M作MN∥x轴交BC边于N，试问，在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设C（0，c），B（x₂，0），
S△AOC=

1

2

|c|×6=6

3

，|c|=2

3

，
又开口向上，对称轴为x=-2，
∴c＜0，
即c=-2

3

，
-6+x₂=-2×2，
x₂=2，
点B坐标（2，0），点C坐标（0，-2

3

）；

（2）把点A（-6，0），C（0，-2

3

）代入y=ax²+bx+c和对称轴-

b

2a

=-2，得

36a-6b+c=0 c=-2 3 b=4a

，
解得

a= 3 6 b= 2 3 3 c=-2 3

，
∴y=

3

6

x²+

2 3

3

x-2

3

；

（3）如图，

AB=8，AC=4

3

，BC=4，
△ABC为直角三角形；
如图①，

P点运动到点B时，
△AMP的面积最大为y=

1

2

×8×

3

=4

3

；
当4≤x＜6时，沿BC向点C匀速运动，如图②，
AM=

3

2

x，PC=12-2x，
△AMP的面积最大为，

△AMP的面积为y=

1

2

AM•PC=

1

2

×

3

2

x（12-2x），
=-

3

2

（x-3）²+

9

2

3

，
这时△AMP的面积最大为

9 3

2

．
综上所知△AMP的面积最大为

9 3

2

；

（4）如图③，

△QMN为直角三角形
∠QMN或∠QNM为直角，
设Q为（x，0），到MN的距离为t，
则QM=-

3

3

x-2

3

=t，点N到x轴的距离是

3

x-2

3

=t，
则Q为（-4，0）或（0，0），
当∠MQN为直角时为（0，0）；
综上所知Q为（-4，0）或（0，0）．