Question

【题目】我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．

(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．

(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a＝(m2﹣n2)，b＝mn，c＝(m2+n2)(m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．

【解析】

（1）根据题意只需要证明a2+b2＝c2，即可解答

（2）根据题意将n＝5代入得到a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，再将直角三角形的一边长为37，分别分三种情况代入a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，即可解答

(1)∵a2+b2＝(2n+1)2+(2n2+2n)2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，

c2＝(2n2+2n+1)2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，

∴a2+b2＝c2，

∵n为正整数，

∴a、b、c是一组勾股数；

(2)解：∵n＝5

∴a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，

∵直角三角形的一边长为37，

∴分三种情况讨论，

①当a＝37时， (m2﹣52)＝37，

解得m＝±3 (不合题意，舍去)

②当y＝37时，5m＝37，

解得m＝ (不合题意舍去)；

③当z＝37时，37＝ (m2+n2)，

解得m＝±7，

∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，

∴m＝7，

把m＝7代入①②得，x＝12，y＝35．

综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．