题目内容
在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0).
(1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的顶点坐标;
(2)如图,小敏发现所有过A,B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C,M为抛物线的顶点,那么△ACM与△ACB的面积比不变,请你求出这个比值;
(3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E,F,与y轴交于点C,过C作CP∥x轴交l于点P,M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形,求此抛物线的解析式.
(1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的顶点坐标;
(2)如图,小敏发现所有过A,B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C,M为抛物线的顶点,那么△ACM与△ACB的面积比不变,请你求出这个比值;
(3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E,F,与y轴交于点C,过C作CP∥x轴交l于点P,M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形,求此抛物线的解析式.
(1)设过抛物线A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A(-1,0),B(3,0),点(0,-3)代入
得
,
解得
,
故此抛物线的解析式为y=x2-2x-3,顶点坐标为(1,-4);
(2)由题意,设y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),M(1,-4a),
∴S△ACB=
×4×|-3a|=6|a|,
而a>0,
∴S△ACB=6a.
作MD⊥x轴于D,
又S△ACM=S△ACO+SOCMD-S△AMD=
•1•3a+
(3a+4a)-
•2•4a=a,
∴S△ACM:S△ACB=1:6;
(3)①当抛物线开口向上时,
设y=a(x-1)2+k,
即y=ax2-2ax+a+k,
有菱形可知|a+k|=|k|,a+k>0,k<0,
∴k=-
,
∴y=ax2-2ax+
,
∴|EF|=
=
记l与x轴交点为D,
若∠PEM=60°,则∠FEM=30°,MD=DE•tan30°=
,
∴k=-
,a=
,
∴抛物线的解析式为y=
x2-
x+
若∠PEM=120°,则∠FEM=60°,MD=DE•tan60°=
,
∴k=-
,a=
,
∴抛物线的解析式为y=
x2-2
x+
②当抛物线开口向下时,同理可得y=-
x2+
x-
,
y=-
x2+2
x-
.
把A(-1,0),B(3,0),点(0,-3)代入
得
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解得
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故此抛物线的解析式为y=x2-2x-3,顶点坐标为(1,-4);
(2)由题意,设y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),M(1,-4a),
∴S△ACB=
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而a>0,
∴S△ACB=6a.
作MD⊥x轴于D,
又S△ACM=S△ACO+SOCMD-S△AMD=
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∴S△ACM:S△ACB=1:6;
(3)①当抛物线开口向上时,
设y=a(x-1)2+k,
即y=ax2-2ax+a+k,
有菱形可知|a+k|=|k|,a+k>0,k<0,
∴k=-
a |
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∴y=ax2-2ax+
a |
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∴|EF|=
(x2+x1)2-4x1x2 |
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记l与x轴交点为D,
若∠PEM=60°,则∠FEM=30°,MD=DE•tan30°=
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∴k=-
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∴抛物线的解析式为y=
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若∠PEM=120°,则∠FEM=60°,MD=DE•tan60°=
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∴k=-
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∴抛物线的解析式为y=
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②当抛物线开口向下时,同理可得y=-
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