题目内容
已知:抛物线y=-
x2-2
(a-1)x-
(a2-2a)与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1<1<x2.
(1)求A、B两点的坐标(用a表示);
(2)设抛物线的顶点为C,求△ABC的面积;
(3)若a是整数,P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合),在x轴上方作等边△APM和等边△BPN,记线段MN的中点为Q,求抛物线的解析式及线段PQ的长的取值范围.
3 |
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(1)求A、B两点的坐标(用a表示);
(2)设抛物线的顶点为C,求△ABC的面积;
(3)若a是整数,P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合),在x轴上方作等边△APM和等边△BPN,记线段MN的中点为Q,求抛物线的解析式及线段PQ的长的取值范围.
(1)∵拋物线与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),
∴x1、x2是关于x的方程-
x2-2
(a-1)x-
(a2-2a)=0的解;
方程可化简为x2+2(a-1)x+(a2-2a)=0;
解方程,得x=-a或x=-a+2;
∵x1<x2,-a<-a+2,(1分)
∴x1=-a,x2=-a+2
∴A、B两点的坐标分别为A(-a,0),B(-a+2,0)(2分)
(2)∵AB=2,顶点C的纵坐标为
,(3分)
∴△ABC的面积等于
;(4分)
(3)∵x1<1<x2,
∴-a<1<-a+2
∴-1<a<1;(5分)
∵a是整数,
∴a=0,
即所求拋物线的解析式为y=-
x2+2
x;(6分)
解法一:此时顶点C的坐标为C(1,
)如图,作CD⊥AB于D,连接CQ,
则AD=1,CD=
,tan∠BAC=
,
∴∠BAC=60°
由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形;
由△APM和△BPN是等边三角形,线段MN的中点为Q可得,
点M、N分别在AC和BC边上,四边形PMCN的平行四边形,
C、Q、P三点共线,且PQ=
PC;(7分)
∵点P线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,
DC≤PC<AC,DC=
,AC=2,
∴
≤PQ<1;(8分)
解法二:设点P的坐标为P(x,0)(0<x<2)如图,作MM1⊥AB于M1,NN1⊥AB于N1
∵△APM和△BPN是等边三角形,且都在x轴上方,
∴AM=AP=x,BN=BP=2-x,∠MAP=60°,∠NBP=60°
∴AM1=AM•cos∠MAB=
,
MM1=AM•sin∠MAB=
,
BN1=BN•cos∠NBP=
,
NN1=BN•sin∠NBP=
∴AN1=AB-BN1=2-
=
∴M、N两点的坐标分)别为M(
,
),N(
,
)
可得线段MN的中点Q的坐标为Q(
,
)
由勾股定理得PQ=
=
(7分)
∵点P在线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,0<x<2,
∴3≤(x-1)2+3<4,
∴
≤PQ<1.(8分)
∴x1、x2是关于x的方程-
3 |
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方程可化简为x2+2(a-1)x+(a2-2a)=0;
解方程,得x=-a或x=-a+2;
∵x1<x2,-a<-a+2,(1分)
∴x1=-a,x2=-a+2
∴A、B两点的坐标分别为A(-a,0),B(-a+2,0)(2分)
(2)∵AB=2,顶点C的纵坐标为
3 |
∴△ABC的面积等于
3 |
(3)∵x1<1<x2,
∴-a<1<-a+2
∴-1<a<1;(5分)
∵a是整数,
∴a=0,
即所求拋物线的解析式为y=-
3 |
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解法一:此时顶点C的坐标为C(1,
3 |
则AD=1,CD=
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∴∠BAC=60°
由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形;
由△APM和△BPN是等边三角形,线段MN的中点为Q可得,
点M、N分别在AC和BC边上,四边形PMCN的平行四边形,
C、Q、P三点共线,且PQ=
1 |
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∵点P线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,
DC≤PC<AC,DC=
3 |
∴
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解法二:设点P的坐标为P(x,0)(0<x<2)如图,作MM1⊥AB于M1,NN1⊥AB于N1
∵△APM和△BPN是等边三角形,且都在x轴上方,
∴AM=AP=x,BN=BP=2-x,∠MAP=60°,∠NBP=60°
∴AM1=AM•cos∠MAB=
x |
2 |
MM1=AM•sin∠MAB=
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2 |
BN1=BN•cos∠NBP=
2-x |
2 |
NN1=BN•sin∠NBP=
2
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2 |
∴AN1=AB-BN1=2-
2-x |
2 |
2+x |
2 |
∴M、N两点的坐标分)别为M(
x |
2 |
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2 |
2+x |
2 |
2
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可得线段MN的中点Q的坐标为Q(
x+1 |
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由勾股定理得PQ=
(x-
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1 |
2 |
(x-1)2+3 |
∵点P在线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,0<x<2,
∴3≤(x-1)2+3<4,
∴
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