题目内容
在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使点P到A、C两点间的距离之和最小.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如果在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M,N两点,以MN为直径作圆恰好与x轴相切,求此圆的直径.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使点P到A、C两点间的距离之和最小.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如果在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M,N两点,以MN为直径作圆恰好与x轴相切,求此圆的直径.
(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-1)2+c,
把B(3,0),C(0,-3)代入得:
,
解得a=1,c=-4,
∴抛物线的解析式为y=(x-1)2-4,
即y=x2-2x-3;
(2)存在.
∵由对称性可知,A点的坐标为(-1,0),
∵C点坐标为(0,-3),B点坐标为(3,0),
∴直线BC的解析式为y=x-3,
∵P点在对称轴上,设P点坐标为(1,y)代入y=x-3,
求得P点坐标为(1,-2);
(3)证明:设圆的半径为r,
依题意有M(1-r,r),N(1+r,r)把M的坐标代入y=x2-2x-3,
整理得:r2-r-4=0,
解得r1=
,r2=
(舍去),
∴所求圆的直径为1+
.
把B(3,0),C(0,-3)代入得:
|
解得a=1,c=-4,
∴抛物线的解析式为y=(x-1)2-4,
即y=x2-2x-3;
(2)存在.
∵由对称性可知,A点的坐标为(-1,0),
∵C点坐标为(0,-3),B点坐标为(3,0),
∴直线BC的解析式为y=x-3,
∵P点在对称轴上,设P点坐标为(1,y)代入y=x-3,
求得P点坐标为(1,-2);
(3)证明:设圆的半径为r,
依题意有M(1-r,r),N(1+r,r)把M的坐标代入y=x2-2x-3,
整理得:r2-r-4=0,
解得r1=
1+
| ||
2 |
1-
| ||
2 |
∴所求圆的直径为1+
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