Question

已知x₁、x₂为方程x²+3x+1=0的两实根，则x₁³+8x₂+20=

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：根据一元二次方程的根的定义得到x₁²+3x₁+1=0，即x₁²=-3x₁-1，两边都乘x₁得到x₁³=-3x₁²-x₁=-3（-3x₁-1）-x₁=8x₁+3，则原式=8（x₁+x₂）+23，然后根据根与系数的关系求解．

解答：解：∵x₁为方程x²+3x+1=0的根，
∴x₁²+3x₁+1=0，即x₁²=-3x₁-1，
∴x₁³=-3x₁²-x₁=-3（-3x₁-1）-x₁=8x₁+3，
∴x₁³+8x₂+20
=8x₁+3+8x₂+20
=8（x₁+x₂）+23，
∵x₁、x₂为方程x²+3x+1=0的两实根，
∴x₁+x₂=-3，
∴x₁³+8x₂+20=8×（-3）+23=2-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的定义．