Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的长．

Answer 1

(1)见解析；（2）BD=.

试题分析：(1)要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可;
(2)通过作辅助线,根据已知条件求出∠CBD的度数,在Rt△BCD中求解即可.
试题解析：
（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切．
证明：连结OD，DE.
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
∵∠A=∠CBD，
∴∠A+∠CDB=90°．
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO．
∴∠ADO+∠CDB=90°．
∴∠ODB=180°-90°=90°．
∴OD⊥BD．
∵OD为半径，
∴BD是⊙O切线．

（2）∵AD:AO=8:5，
∴=．
∴由勾股定理得AD:DE:AE=8:6:10．
∵∠C=90°，∠CBD=∠A.
∴△BCD∽△ADE．
∴DC:BC:BD=DE:AD:AE=6:8:10．
∵BC=3，
∴BD=．