Question

【题目】如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y= （x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p﹣1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y= （x＞0）和y=﹣ （x＜0）于点M、N．
（1）求m的值和直线l的解析式；
（2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN=4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵B（2，1）在双曲线y= （x＞0）上，

∴m=2，

设直线l的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得 ，

∴直线l的解析式为y=x﹣1

（2）证明：∵点P（p，p﹣1）（p＞1），点P在直线y=2上，

∴p﹣1=2，

解得p=3，

∴P（3，2），

∴PM=2，PN=4，PA=2 ，PB= ，

∵∠BPM=∠APN，PM：PN=PB：PA=1：2，

∴△PMB∽△PNA

（3）解：存在实数p，使得S△AMN=4S△AMP．

∵P（p，p﹣1）（p＞1），

∴点M、N的纵坐标都为p﹣1，

将y=p﹣1代入y= 和y=﹣ ，

得x= 和x=﹣ ，

∴M、N的坐标分别为（ ，p﹣1），（﹣ ，p﹣1），

①当1＜p＜2时，

MN= ，PM= ﹣p，

∵S△AMN= MN×（p﹣1）=2，S△AMP= MP×（p﹣1）=﹣ p2+ p+1，

S△AMN=4S△AMP，

∴2=4×（﹣ p2+ p+1），

整理，得p2﹣p﹣1=0，

解得：p= ，

∵1＜p＜2，

∴p= ，

②当p＞2时，

MN= ，PM=p﹣ ，

∵S△AMN= MN×（p﹣1）=2，S△AMP= MP×（p﹣1）= p2﹣ p﹣1，

S△AMN=4S△AMP，

∴2=4×（ p2﹣ p﹣1），

整理，得p2﹣p﹣3=0，解得p= ，

∵p大于2，

∴p= ，

∴存在实数p= 或 使得S△AMN=4S△AMP．

【解析】（1）将点B的坐标代入即可得出m的值，设直线l的解析式为y=kx+b，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得k和b即可得出直线l的解析式；（2）根据点P在直线y=2上，求出点P的坐标，再证明△PMB∽△PNA即可；（3）先假设存在，利用S△AMN=4S△AMP ． 求得p的值，看是否符合要求．
【考点精析】本题主要考查了确定一次函数的表达式和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．