Question

【题目】若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．

（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有　 　；

②若矩形ABCD是“完美四边形”，且AB＝4，则BC＝　 　；

（2）如图1，“完美四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；

（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C （2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的斜率为，且四边形ABCD的面积为15，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）①菱形、正方形；②4或；（2）BD＝2；（3）a的值为或．

【解析】

（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断．

②矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°．由于AB边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算．

（2）过O点作OH垂直BD，连接OD，由∠DPC=60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD=2DH．

（3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=x，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y=a（x+3）（x-2），把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，所以用韦达定理得到xB+xD和xBxD进而得到用a表示的（xB-xD）2．又由四边形面积可求得xB-xD=6，即得到关于a的方程并解方程求得a．

（1）①∵菱形、正方形的对角线互相垂直，

∴菱形、正方形不是“美丽四边形”．

故答案为：菱形、正方形．

②设矩形ABCD对角线相交于点O

∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°，

∴AO＝BO＝CO＝DO，

∵矩形ABCD是“美丽四边形”，

∴AC、BD夹角为60°，

i）如图1，若AB＝4为较短的边，则∠AOB＝60°，

∴△OAB是等边三角形

∴∠OAB＝60°

∴Rt△ABC中，tan∠OAB＝，

∴BC＝AB＝4，

ii）如图2，若AB＝4为较长的边，则∠BOC＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OCB＝60°，

∴Rt△ABC中，tan∠OCB＝＝，

∴BC＝＝．

（2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD

∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝BD，

∵AP＝1，PC＝5

∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6

∴OA＝OC＝OD＝3

∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2

∵四边形ABCD是“美丽四边形”

∴∠OPH＝60°，

∴Rt△OPH中，sin∠OPH＝，

∴OH＝＝，

∴Rt△ODH中，DH＝＝＝，

∴BD＝2DH＝2．

（3）过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N

∴∠BMO＝∠DNO＝90°

∵直线BD的斜率为，

∴直线BD解析式为y＝x，

∵二次函数的图象过点A（﹣3，0）、C（2，0），即与x轴交点为A、C

∴用交点式设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2）

∵，

整理得：ax2+（a﹣）x﹣6a＝0，

∴xB+xD＝﹣，xBxD＝﹣6

∴（xB﹣xD）2＝（xB+xD）2﹣4xBxD＝（﹣）2+24

∵S四边形ABCD＝S△AB+S△ACD＝ACBM+ACDN＝AC（BM+DN）＝AC（yD﹣yB）＝AC（xD﹣xB）＝（xB﹣xD）．

∴（xB﹣xD）＝15，

∴xB﹣xD＝6，

∴（﹣）2+24＝36，

解得：a1＝，a2＝．

∴a的值为或．