题目内容
【题目】若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°,我们称这样的凸四边形为“完美四边形”.
(1)①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中,一定不是“完美四边形”的有 ;
②若矩形ABCD是“完美四边形”,且AB=4,则BC= ;
(2)如图1,“完美四边形”ABCD内接于⊙O,AC与BD相交于点P,且对角线AC为直径,AP=1,PC=5,求另一条对角线BD的长;
(3)如图2,平面直角坐标系中,已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A(﹣3,0)、C (2,0),B在第三象限,D在第一象限,AC与BD交于点O,直线BD的斜率为,且四边形ABCD的面积为15
,若二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)的图象同时经过这四个顶点,求a的值.
【答案】(1)①菱形、正方形;②4或
;(2)BD=2
;(3)a的值为
或
.
【解析】
(1)①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断.
②矩形ABCD对角线相等且互相平分,再加上对角线夹角为60°,即出现等边三角形,所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°.由于AB边不确定是较长还是较短的边,故需要分类讨论计算.
(2)过O点作OH垂直BD,连接OD,由∠DPC=60°可求得OH,在Rt△ODH中勾股定理可求DH,再由垂径定理可得BD=2DH.
(3)由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=x,由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y=a(x+3)(x-2),把两解析式联立方程组,消去y后得到关于x的一元二次方程,解即为点B、D横坐标,所以用韦达定理得到xB+xD和xBxD进而得到用a表示的(xB-xD)2.又由四边形面积可求得xB-xD=6,即得到关于a的方程并解方程求得a.
(1)①∵菱形、正方形的对角线互相垂直,
∴菱形、正方形不是“美丽四边形”.
故答案为:菱形、正方形.
②设矩形ABCD对角线相交于点O
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠ABC=90°,
∴AO=BO=CO=DO,
∵矩形ABCD是“美丽四边形”,
∴AC、BD夹角为60°,
i)如图1,若AB=4为较短的边,则∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形
∴∠OAB=60°
∴Rt△ABC中,tan∠OAB=,
∴BC=AB=4
,
ii)如图2,若AB=4为较长的边,则∠BOC=60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴OCB=60°,
∴Rt△ABC中,tan∠OCB==
,
∴BC==
.
(2)过点O作OH⊥BD于点H,连接OD
∴∠OHP=∠OHD=90°,BH=DH=BD,
∵AP=1,PC=5
∴⊙O直径AC=AP+PC=6
∴OA=OC=OD=3
∴OP=OA﹣AP=3﹣1=2
∵四边形ABCD是“美丽四边形”
∴∠OPH=60°,
∴Rt△OPH中,sin∠OPH=,
∴OH==
,
∴Rt△ODH中,DH==
=
,
∴BD=2DH=2.
(3)过点B作BM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N
∴∠BMO=∠DNO=90°
∵直线BD的斜率为,
∴直线BD解析式为y=x,
∵二次函数的图象过点A(﹣3,0)、C(2,0),即与x轴交点为A、C
∴用交点式设二次函数解析式为y=a(x+3)(x﹣2)
∵,
整理得:ax2+(a﹣)x﹣6a=0,
∴xB+xD=﹣,xBxD=﹣6
∴(xB﹣xD)2=(xB+xD)2﹣4xBxD=(﹣)2+24
∵S四边形ABCD=S△AB+S△ACD=ACBM+
ACDN=
AC(BM+DN)=
AC(yD﹣yB)=
AC(
xD﹣
xB)=
(xB﹣xD).
∴(xB﹣xD)=15
,
∴xB﹣xD=6,
∴(﹣)2+24=36,
解得:a1=,a2=
.
∴a的值为或
.
