题目内容

【题目】如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,A、B两点的坐标分别为(﹣1,0)、(0,﹣3).

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与x轴的另一交点,点D为y轴上一点,且DC=DE,求出点D的坐标;

(3)在第二问的条件下,在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似,请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.

【答案】(1y=x2﹣2x﹣3;(2D0﹣1);(3P点坐标(0)、(﹣2)、(﹣38)、(3﹣10).

【解析】试题分析:(1)A,B两点坐标代入解析式,求出b,c值,即可得到抛物线解析式;(2)先根据解析式求出C点坐标,及顶点E的坐标,设点D的坐标为(0m),作EFy轴于点F,利用勾股定理表示出DC,DE的长。再建立相等关系式求出m值,进而求出D点坐标;(3)先根据边角边证明COD≌△DFE,得出CDE=90°,即CDDE,然后当以CDP为顶点的三角形与DOC相似时,根据对应边不同进行分类讨论:OCCD是对应边时,有比例式,能求出DP的值,又因为DE=DC,所以过点PPGy轴于点G,利用平行线分线段成比例定理即可求出DG,PG的长度,根据点P在点D的左边和右边,得到符合条件的两个P点坐标;OCDP是对应边时,有比例式,易求出DP,仍过点PPGy轴于点G,利用比例式求出DG,PG的长度,然后根据点P在点D的左边和右边,得到符合条件的两个P点坐标;这样,直线DE上根据对应边不同,点P所在位置不同,就得到了符合条件的4P点坐标.

试题解析:(1抛物线y=x2+bx+c经过A﹣10)、B0﹣3),,解得,故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)令x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1x2=3,则点C的坐标为(30),y=x2﹣2x﹣3=x﹣12﹣4E坐标为(1﹣4),设点D的坐标为(0m),作EFy轴于点F(如下图),DC2=OD2+OC2=m2+32DE2=DF2+EF2=m+42+12DC=DEm2+9=m2+8m+16+1,解得m=﹣1D的坐标为(0﹣1);(3C30),D0﹣1),E1﹣4),CO=DF=3DO=EF=1,根据勾股定理,CD===,在CODDFE中,∴△COD≌△DFESAS),∴∠EDF=DCO,又∵∠DCO+CDO=90°∴∠EDF+CDO=90°∴∠CDE=180°﹣90°=90°CDDEOCCD是对应边时,DOC∽△PDC,即=,解得DP=,过点PPGy轴于点G,则,即,解得DG=1PG=,当点P在点D的左边时,OG=DG﹣DO=1﹣1=0,所以点P0),当点P在点D的右边时,OG=DO+DG=1+1=2,所以,点P﹣2);OCDP是对应边时,∵△DOC∽△CDP,即=,解得DP=3,过点PPGy轴于点G,则,即,解得DG=9PG=3,当点P在点D的左边时,OG=DG﹣OD=9﹣1=8,所以,点P的坐标是(﹣38),当点P在点D的右边时,OG=OD+DG=1+9=10,所以,点P的坐标是(3﹣10),综上所述,在直线DE上存在点P,使得以CDP为顶点的三角形与DOC相似,满足条件的点P共有4个,其坐标分别为(0)、(﹣2)、(﹣38)、(3﹣10).

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