Question

如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点，点D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E.

（1）说明：；
（2）当点C、点A到y轴距离相等时，求点E坐标.
（3）当的面积为时，求的值.

Answer 1

(1)理由见解析；（2）（，）；（3）2.

试题分析：（1）由y=0，得出的一元二次方程的解就是A、B两点的横坐标．由此可求出A、B的坐标。通过构建相似三角形求解，过O作OG∥AC交BE于G，那么可得出两组相似三角形：△GED∽△OGD、△BOG∽△BAE，可分别用这两组相似三角形得出OG与EC的比例关系、OG与AE的比例关系，从而得出CE、AE的比例关系．
(2)由已知可求C（2，8），再求AC所在直线解析式，根据△AEF∽△ACH可求E点坐标.
(3)由D是OC的中点可知S_△OCE=2S_△CDE,又由已知可求S_△AOC=8,从而可求出CH、AH的值，从而可求的值.
试题解析：(1)令y=0,则有-x²+2x+8=0.
解得：x₁=-2，x₂=4
∴OA=2，OB=4.
过点O作OG∥AC交BE于G

∴△CEG∽△OGD
∴
∵DC=DO
∴CE=0G
∵OG∥AC
∴△BOG∽△BAE
∴
∵OB=4,OA=2
∴;
(2)由（1）知A（-2，0），且点C、点A到y轴的距离相等，
∴C（2，8）
设AC所在直线解析式为：y=kx+b
把 A 、C两点坐标代入求得k=2，b=4
所以y=2x+4
分别过E、C作EF⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为F、H

由△AEF∽△ACH可求EF=，OF=,
∴E点坐标为（，）
（3）连接OE
∵D是OC的中点，
∴S_△OCE=2S_△CED
∵S_△OCE:S_△AOC=CE:CA=2:5
∴S_△CED：S_△AOC=1：5．
∴S_△AOC=5S_△CED=8
∴
∴CH=8

考点: 二次函数综合题.