题目内容

如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点,点D是OC的中点,连接BD并延长,交AC于点E.

(1)说明:
(2)当点C、点A到y轴距离相等时,求点E坐标.
(3)当的面积为时,求的值.
(1)理由见解析;(2)();(3)2.

试题分析:(1)由y=0,得出的一元二次方程的解就是A、B两点的横坐标.由此可求出A、B的坐标。通过构建相似三角形求解,过O作OG∥AC交BE于G,那么可得出两组相似三角形:△GED∽△OGD、△BOG∽△BAE,可分别用这两组相似三角形得出OG与EC的比例关系、OG与AE的比例关系,从而得出CE、AE的比例关系.
(2)由已知可求C(2,8),再求AC所在直线解析式,根据△AEF∽△ACH可求E点坐标.
(3)由D是OC的中点可知S△OCE=2S△CDE,又由已知可求S△AOC=8,从而可求出CH、AH的值,从而可求的值.
试题解析:(1)令y=0,则有-x2+2x+8=0.
解得:x1=-2,x2=4
∴OA=2,OB=4.
过点O作OG∥AC交BE于G

∴△CEG∽△OGD

∵DC=DO
∴CE=0G
∵OG∥AC
∴△BOG∽△BAE

∵OB=4,OA=2
;
(2)由(1)知A(-2,0),且点C、点A到y轴的距离相等,
∴C(2,8)
设AC所在直线解析式为:y=kx+b
把 A 、C两点坐标代入求得k=2,b=4
所以y=2x+4
分别过E、C作EF⊥x轴,CH⊥x轴,垂足分别为F、H

由△AEF∽△ACH可求EF=,OF=,
∴E点坐标为(
(3)连接OE
∵D是OC的中点,
∴S△OCE=2S△CED
∵S△OCE:S△AOC=CE:CA=2:5
∴S△CED:S△AOC=1:5.
∴SAOC=5SCED=8

∴CH=8

考点: 二次函数综合题.
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