题目内容

如图，已知AB=2，AB、CD是⊙O的两条直径，M为弧AB的中点，C在弧MB上运动，点P在AB的延长上，且PC=AC，作CE⊥AP于E，连接DP交⊙O于F．
（1）求证：当AC= $数学公式$ 时，PC与⊙O相切；
（2）在PC与⊙O相切的条件下，求sin∠APD的值。

（1）证明：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠A=30°，
又∵PC=AC，
∴∠CPE=∠A=30°，
∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A=60°，
∴∠OCP=180°-∠CPE-∠COP=90°，
∴PC与⊙O相切；

（2）解：在Rt△CDP中，
∵CD=2，CP= $\text{[math]}$
∴DP= $\text{[math]}$
作DH⊥AP垂足为H
∵∠HOD=∠COE，OC=OD，∠CEO=∠DHO=90°，
∴Rt△DHO≌Rt△CEO
可得DH=CE=AC•sin30°= $\text{[math]}$
在Rt△DHP中：sin∠APD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）连接BC，AB为直径，解直角三角形ABC得∠A=30°，又PC=AC，得∠CPE=∠A=30°，∠COP=∠A+∠ACO=2∠A=60°，利用内角和定理证明∠OCP=90°；
（2）作DH⊥AP垂足为H，可证DH=CE，利用解直角三角形求CE，在Rt△CDP中，由CD=2，CP= $\text{[math]}$ ，利用勾股定理求DP，由sin∠APD= $\text{[math]}$ 求解．
点评：本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是作辅助线，将问题转化到特殊三角形中求解．