题目内容
【题目】如图，直线y=kx+b过点A（5，0）和点C，反比例函数y=
（x＜0）过点D，作BD∥x轴交y轴于点B（0，﹣3），且BD=OC，tan∠OAC=
．
（1）求反比例函数y=（x＜0）和直线y=kx+b的解析式；
（2）连接CD，判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由．
【答案】（1）y=
，y=﹣
x+2；（2）AC⊥CD.
【解析】分析：（1）由A点坐标可求得OA的长，再利用三角函数的定义可求得OC的长，可求得C、D点坐标，再利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（2）由条件可证明△OAC≌△BCD，再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°，可证得AC⊥CD．
详解：（1）∵A（5，0），∴OA=5．
∵tan∠OAC=
=．
解得：OC=2，∴C（0，2），∴BD=OC=2．
∵B（0，﹣3），BD∥x轴，∴D（﹣2，﹣3），∴m=﹣2×（﹣3）=6，∴y=．
设直线AC关系式为y=kx+b．
∵过A（5，0），C（0，2），∴
，
解得：
，∴y=﹣+2；
（2）∵B（0，﹣3），C（0，2），∴BC=5=OA．
∵x轴⊥y轴，∠AOC=∠COE=90°，BD∥x轴，
∴∠COE=∠DBC=90°，∴∠AOC=∠DBC．
在△OAC和△BCD中，
∴△OAC≌△BCD（SAS），
∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，
∴AC⊥CD．
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