题目内容

（2012•青岛模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B移动，点F从点B出发以2cm/s的速度沿BA方向向点A移动，当点F到达点A时，点E停止运动；设运动的时间为t（s） （0＜t＜2.5）．问：
（1）当t为何值时，EF平分等腰梯形ABCD的周长？
（2）若△BFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2？若存在求出t的值；若不存在，说明理由．
（4）在点E、F运动的过程中，若线段EF=
15
4
5
cm，此时EF能否垂直平分AB？
分析：（1）根据已知得出BE+BF=
1
2
（AD+BC+CD+AB）=12，代入求出即可；
（2）过A作AN⊥BC于N，过F作FG⊥BC于G，求出AN，根据△ABN∽△FGB得出比例式，求出FG，根据三角形面积公式求出即可；
（3）假设存在，根据已知和三角形面积、梯形面积得出方程，求出即可；
（4）假设存在，证△ABN∽△BEF，得出比例式，求出EF即可．
解答：解：（1）∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，
∴BE+BF=
1
2
（AD+BC+CD+AB）=12，
∴10-t+2t=12，
t=2；
答：当t为2s时，EF平分等腰梯形ABCD的周长；
（2）
过A作AN⊥BC于N，过F作FG⊥BC于G，
则BN=
1
2
（BC-AD）=
1
2
×（10-4）=3（cm），
∵AN⊥BC，FG⊥BC，
∴FG∥AN，
△ABN∽△FGB，
∴
FG
AN
=
BF
AB
，
∴
FG
4
=
2t
5
，
FG=
8
5
t，
∴S△BEF=
1
2
×BE×FG=
1
2
（10-t）•
8
5
t，
S=-
4
5
t2+8t；

（3）假设存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2，
S五边形AFECD=S梯形ABCD-S△BFE=
1
2
×（4+10）×4-（-
4
5
t2+8t）=28+
4
5
t2-8t，
即2（28+
4
5
t2-8t）=3（-
4
5
t2+8t），
解得：t=5+
11
（大于2.5，舍去），t=5-
11
；
即存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2，t的值是（5-
11
）s；

（4）假设存在EF垂直平分AB，
则△ABN∽△BEF，
EF
AN
=
DF
DN
，
EF
4
=
5
2
3
，
EF=
10
3
≠
15
4
5
，
即线段EF=
15
4
5
cm，此时EF不能垂直平分AB．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形的面积，三角形的面积，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
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5
5
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140
x
+
140
x+21
=14
140
x
+
140
x+21
=14
．

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