题目内容
【题目】已知抛物线y=x2+(m+1)x+m﹣1与x轴交于A,B两点,顶点为C,则△ABC面积的最小值为 .
【答案】1
【解析】解:设抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),令y=0,可得x2+(m+1)x+m﹣1=0,
∴x1+x2=﹣(m+1),x1x2=m﹣1,
∴AB=|x1﹣x2|= ,点C的纵坐标是﹣ (m2﹣2m+5),
∴三角形ABC的面积= × × (m2﹣2m+5),
又∵m2﹣2m+5的最小值是4,
∴三角形ABC的面积的最小值是1.
所以答案是1.
【考点精析】通过灵活运用根与系数的关系和抛物线与坐标轴的交点,掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定;两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商;一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.即可以解答此题.
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