题目内容
【题目】已知:点 A(4,0),点 B 是 y 轴正半轴上一点,如图 1,以 AB 为直角边作等腰直角三角形 ABC ABC 90.
(1)若 AC 6,求点B 的坐标;
(2)当点B 坐标为(0,1)时,求点C 的坐标;
(3)如图 2,以 OB 为直角边作等腰直角△OBD,点D在第一象限,连接CD交 y 轴于点E.在点 B 运动的过程中,BE 的长是否发生变化?若不变,求出 BE 的长;若变化,请说明理由.
【答案】(1)(0,) (2)(-1,-3) (3)BE长保持不变,BE的长为2
【解析】
(1)根据AC的长求出AB的长,再用勾股定理求B点坐标.
(2)过C作CM⊥y轴于M,通过判定△BCM≌△ABO(AAS),得出CM=BO=1,BM=AO=4,进而得到OM=3,据此可得C(-1,-3);
(3)过C作CM⊥y轴于M,根据△BCM≌△ABO,可得CM=BO,BM=OA=4,再判定△DBE≌△CME(AAS),可得BE=EM,进而得到BE=BM=2.
(1)∵△ABC是等腰直角三角形,AC 6
∴2AB2=36
∴AB=
设B点坐标为(0,a)(a>0)
在直角三角形AOB中,A(4,0)
∴16+a2=18
∴a=
∴B点的坐标为(0,)
(2)如图1,过C作CM⊥y轴于M.
∵CM⊥y轴,
∴∠BMC=∠AOB=90°,
∴∠ABO+∠BAO=90°
∵∠ABC=90°,
∴∠CBM+∠ABO=90°,
∴∠CBM=∠BAO,
在△BCM与△ABO中,
,
∴△BCM≌△ABO(AAS),
∴CM=BO=1,BM=AO=4,
∴OM=3,
∴C(-1,-3);
(3)在B点运动过程中,BE长保持不变,BE的长为2,
理由:如图2,过C作CM⊥y轴于M,
由(1)可知:△BCM≌△ABO,
∴CM=BO,BM=OA=4.
∵△BDO是等腰直角三角形,
∴BO=BD,∠DBO=90°,
∴CM=BD,∠DBE=∠CME=90°,
在△DBE与△CME中,
,
∴△DBE≌△CME(AAS),
∴BE=EM,
∴BE=BM=2.