题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=与抛物线y=+bx+c交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为﹣8.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PEAB于点E.

PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的最大值;

连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.

【答案】(1)(2)l=当x=﹣3时,最大值为15;,2),,2),).

【解析】

试题分析:(1)利用直线解析式求出点A、B的坐标,再利用待定系数法求二次函数解析式解答;

(2)利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD,再利用同角的余角相等求出DPE=BAO,根据直线k值求出BAO的正弦和余弦值,然后表示出PE、DE,再根据三角形的周长公式列式整理即可得解,再根据二次函数的最值问题解答;

分(i)点G在y轴上时,过点P作PHx轴于H,根据正方形的性质可得AP=AG,PAG=90°,再求出PAH=AGO,然后利用“角角边”证明APH和GAO全等,根据全等三角形对应边相等可得PH=AO=2,然后利用二次函数解析式求解即可;(ii)点F在y轴上时,过点PMx轴于M,作PNy轴于N,根据正方形的性质可得AP=FP,APF=90°,再根据同角的余角相等求出APM=FPN,然后利用“角边角”证明APM和FPN全等,根据全等三角形对应边相等可得PM=PN,从而得到点P的横坐标与纵坐标相等,再根据二次函数的解析式求解即可.

试题解析:(1)令y=0,则=0,解得x=2,

x=﹣8时,y==

点A(2,0),B(﹣8,),

把点A、B代入抛物线得,,解得

所以,该抛物线的解析式

(2)①∵点P在抛物线上,点D在直线上,

PD=﹣()=

PEAB,

∴∠DPE+PDE=90°,

PDx轴,

∴∠BAO+PDE=90°,

∴∠DPE=BAO,

直线解析式k=

sinBAO=,cosBAO=

PE=PDcosDPE=PD,

DE=PDsinDPE=PD,

∴△PDE的周长为l=PD+PD+PD=PD=)=

即l=

l=

当x=﹣3时,最大值为15;

②∵点A(2,0),

AO=2,

分(i)点G在y轴上时,过点P作PHx轴于H,

在正方形APFG中,AP=AG,PAG=90°,

∵∠PAH+OAG=90°,AGO+OAG=90°,

∴∠PAH=AGO,

APH和GAO中,

PAH=AGO,AHP=GOA=90°,AP=AG,

∴△APH≌△GAO(AAS),

PH=AO=2,

点P的纵坐标为2,

=2,

整理得,+3x﹣2=0,

解得x=

,2),,2);

(ii)点F在y轴上时,过点PMx轴于M,作PNy轴于N,

在正方形APFG中,AP=FP,APF=90°,

∵∠APM+MPF=90°,FPN+MPF=90°,

∴∠APM=FPN,

APM和FPN中,

APM=FPN,AMP=FNP=90°,AP=AF,

∴△APM≌△FPN(AAS),

PM=PN,

点P的横坐标与纵坐标相等,

=x,

整理得,+7x﹣10=0,

解得==(舍去),

综上所述,存在点,2),,2)

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