题目内容

【题目】ABC中,ACB=90°,O为边AB上的一点,以O为圆心,以OA为半径,作O,交AB于点D,交AC于点E,交BC于点F,且点F恰好是ED的中点,连接DF.

(1)求证:BC是O的切线;

(2)若O的直径为10,AE=6,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)证明详见解析;(2) 4.

【解析】

试题分析:(1)连接OF,AF,由题意得出,由圆周角定理和等腰三角形的性质得出1=3,证出ACOF,得出BFO=ACB=90°,即可得出结论;

(2)连接ED,交OF于H,由圆周角定理得出AED=90°,由勾股定理求出ED=8,证明四边形ECFH为矩形,得出EHO=90°,OFED,由三角形中位线定理得出OH==3,求出HF=5﹣3=2,得出=4,证出阴影部分的面积与CEF的面积相等,即可得出答案.

试题解析:(1)连接OF,AF如图,

F为的中点,

∴∠1=2,

AO=FO,

∴∠3=2,

∴∠1=3,

ACOF

∴∠BFO=ACB=90°,

F为O上一点,

BC为O的切线;

(2)连接ED,交OF于H,如图,

AD为O的直径,

∴∠AED=90°,

在RtADE中,ED==8,

∵∠AED=90°=ACF=BFO,

四边形ECFH为矩形,

∴∠EHO=90°,OFED,

H为ED的中点,

EH=4,

O为AD的中点,

OH==3,

HF=5﹣3=2,

=4

弓形FD与弓形EF全等

阴影部分的面积与CEF的面积相等,

故图中阴影部分的面积为4.

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