Question

阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC中， D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．
小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．
（1）请你回答：图中BD的长为   ；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．
            
图①                                   图②

Answer 1

（2）BD=2；

试题分析：解：（1）折叠△ADC得△ACE。则AD=AE
则可证∠DAE=2∠DAC=45°=∠BAD，又因为在△ABC中，可证∠B=∠ADB=67.5°。所以AB=AD。
则证出△ABD≌△AED（SAS），所以可得BD=DE。且∠ADB=∠ADE=67.5°。所以∠EDC=180°-2∠ADB=45°。
所以Rt△DCE为等腰直角三角形。因为CD=2，通过勾股定理可求DE=
所以.           
（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，

∴△ADC≌△AEC.
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC.
∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.
∴△CDE为等边三角形.
∴DC＝DE.
在AE上截取AF＝AB，连接DF，
∴△ABD≌△AFD.
∴BD＝DF.
在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，
∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°.
∴∠AFD =105°.
∴∠DFE=75°.
∴∠DFE=∠DEF.
∴DF＝DE.  
∴BD＝DC＝2. 
作BG⊥AD于点G，
∴在Rt△BDG中，.  
∴在Rt△ABG中，.                                  
点评：本题难度较大，主要考查学生对全等三角形判定与性质等掌握。本题中带有提示可节省时间直接找出解题线索，审题是要抓住提示关键。