题目内容
如图,在四边形ABCD中,已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3:1:4,点E在边AD上,CE交BD于G,设BG |
GD |
DE |
EA |
(1)求
3 | 7k2+20 |
(2)若点H分线段BE成
BH |
HE |
分析:(1)不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4.根据等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比,分别用k表示相关一些三角形的面积,从而得到关于k的方程,进行求解;
(2)根据(1)的结论,知E、G分别为AD、BD的中点,结合已知,得点H是△ABD的重心.延长BE到K,使得BE=EK,连接AK、DK,构造平行四边形,根据平行四边形的性质和重心的性质进行分析求解.
(2)根据(1)的结论,知E、G分别为AD、BD的中点,结合已知,得点H是△ABD的重心.延长BE到K,使得BE=EK,连接AK、DK,构造平行四边形,根据平行四边形的性质和重心的性质进行分析求解.
解答:略解:(1)不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4.
∵
=
=k,
∴△ABD的面积是6,△BDE的面积是
.
∴△CDG的面积是
,△CDE的面积为
,△DEG的面积是
.
由此可得:
+
=
,
即4k2-3k-1=0,
∴k=1.
∴
=3.
(2)由(1)知:E、G分别为AD、BD的中点,
又∵点H分线段BE成
=2的两段,
∴点H是△ABD的重心.
而当延长BE到K,使得BE=EK,连接AK、DK后便得到平行四边形ABDK,再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得:2(AB2+BD2)=AD2+4BE2,类似地有
,其中点M为边AB的中点.
∴3(AB2+BD2+AD2)=4(BE2+DM2+AG2).
∵AH=
AG,BH=
BE,DH=
DM,AH2+BH2+DH2=p2,
∴BE2+DM2+AG2=
p2,
∴AB2+BD2+AD2=3p2.
∵
BG |
GD |
DE |
EA |
∴△ABD的面积是6,△BDE的面积是
6k |
k+1 |
∴△CDG的面积是
1 |
k+1 |
4k |
k+1 |
6k |
(k+1)2 |
由此可得:
1 |
k+1 |
6k |
(k+1)2 |
4k |
k+1 |
即4k2-3k-1=0,
∴k=1.
∴
3 | 7k2+20 |
(2)由(1)知:E、G分别为AD、BD的中点,
又∵点H分线段BE成
BH |
HE |
∴点H是△ABD的重心.
而当延长BE到K,使得BE=EK,连接AK、DK后便得到平行四边形ABDK,再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得:2(AB2+BD2)=AD2+4BE2,类似地有
|
∴3(AB2+BD2+AD2)=4(BE2+DM2+AG2).
∵AH=
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
∴BE2+DM2+AG2=
9 |
4 |
∴AB2+BD2+AD2=3p2.
点评:此题综合运用了平行四边形的性质和三角形的重心的性质.
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