题目内容
【题目】如图,已知平面直角坐标系,抛物线
与
轴交于点A(-2,0)和点B(4,0) .
(1)求这条抛物线的表达式和对称轴;
(2)点C在线段OB上,过点C作CD⊥轴,垂足为点C,交抛物线与点D,E是BD中点,联结CE并延长,与
轴交于点F.
①当D恰好是抛物线的顶点时,求点F的坐标;
②联结BF,当△DBC的面积是△BCF面积的时,求点C的坐标.
【答案】(1) ,x=1;(2)①F的坐标是(0,
);②C坐标是
.
【解析】
(1)用待定系数法求解;
(2)①求出顶点坐标,得出DC、OC、BC长度,在Rt△DCB和Rt△OFC中,利用三角函数求出OF值即可;
②通过面积比找到DC与OF比值,证明△DCB∽△FOC,借助比例式求解OB,从而得到OC长.
(1)由题意得,抛物线经过点A(-2,0)和点B(4,0),
代入得 解得
因此,这条抛物线的表达式是.
它的对称轴是直线.
(2)①由抛物线的表达式,得顶点D的坐标是(1,
).
∴.
∵D是抛物线顶点,CD⊥轴,E是BD中点,∴
. ∴
.
∵,∴
.
在Rt△中,
,
.
在Rt△中,
,
.
∴,
.∴点F的坐标是(0,
).
②∵,
, ∴
.
∵△DBC的面积是△BCF面积的, ∴
.
由①得,又
,
∴△∽△
.∴
.
又OB=4,∴,∴
.即点C坐标是
.

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