题目内容
【题目】在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB.
(1)若四边形ABCD为正方形.
①如图①,请直接写出AE与DF的数量关系______________;
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置,连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由;
(2)如图③,若四边形ABCD为矩形,BC=mAB,其他条件都不变,将△EBF绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′,连接AE′,DF′,请在图③中画出草图,并求出AE′与DF′的数量关系.
【答案】(1)①DF= AE
②DF=AE.理由见解析; (2) DF′= AE′.
【解析】试题分析:
(1)①由四边形ABCD是正方形易得BD=AB,由EF∥AD可得,从而可DF=AE;
②由旋转的性质结合题意可证△ABE∽△DBF可得,从而可得DF=AE;
(2)画图如下,由四边形ABCD为矩形,可得AD=BC=mAB,由勾股定理可得BD==AB;易证△BEF∽△BAD,可得,因此=.
由旋转性质结合题意可证△ABE′∽△DBF′,由此可得==,
∴DF′= AE′.
试题解析:
(1)①DF= AE
②DF=AE.理由如下:
∵△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置,
∴∠ABE=∠DBF.
∵, ,
∴ ,
∴△ABE∽△DBF,
∴ ,即DF= AE.
(2)如图所示,∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC=mAB,
∴BD==AB.
∵EF⊥AB,
∴EF∥AD,
∴△BEF∽△BAD,
∴,
∴=.
∵△EBF绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′,
∴∠ABE′=∠DBF′,BE′=BE,BF′=BF,
∴==,
∴△ABE′∽△DBF′,
∴==,即DF′= AE′.
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