题目内容

【题目】在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB.

(1)若四边形ABCD为正方形.

①如图①,请直接写出AE与DF的数量关系______________;

②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置,连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由;

(2)如图③,若四边形ABCD为矩形,BC=mAB,其他条件都不变,将△EBF绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′,连接AE′,DF′,请在图③中画出草图,并求出AE′与DF′的数量关系.

【答案】(1)①DF= AE

②DF=AE.理由见解析; (2) DF′= AE′.

【解析】试题分析:

1由四边形ABCD是正方形易得BD=AB,由EFAD可得从而可DF=AE

由旋转的性质结合题意可证ABE∽△DBF可得从而可得DF=AE

2)画图如下,由四边形ABCD为矩形,可得ADBCmAB,由勾股定理可得BDAB;易证BEF∽△BAD,可得,因此.

由旋转性质结合题意可证ABE′∽△DBF′,由此可得

DF′ AE′.

试题解析:

(1)①DF AE

DFAE.理由如下:

∵△EBF绕点B逆时针旋转到图所示的位置,

∴∠ABE∠DBF.

∴△ABE∽△DBF

,即DF AE.

(2)如图所示,四边形ABCD为矩形,

∴ADBCmAB

BDAB.

∵EF⊥AB

∴EF∥AD

∴△BEF∽△BAD

.

∵△EBF绕点B逆时针旋转α(0°α90°)得到△E′BF′

∴∠ABE′∠DBF′BE′BEBF′BF

∴△ABE′∽△DBF′

,即DF′ AE′.

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