题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD平分∠ACB交⊙O于点D.
(1)AD与BD相等吗?为什么?
(2)若AB=10,AC=6,求CD的长;
(3)若P为⊙O上异于A、B、C、D的点,试探究PA、PD、PB之间的数量关系.
【答案】(1)AD=BD,理由见解析;
(2)CD=;
(3)①当点P在上时, PA+PB=PD;②当点P在上时, PA﹣PB=PD.③当点P在上时, PB﹣PA=PD.
【解析】试题分析:(1)结论:AD=BD.只要证明即可.
(2)如图2中,作DF⊥CA,垂足F在CA的延长线上,作DG⊥CB于点G,连接DA,DB.由Rt△AFD≌Rt△BGD(HL),推出AF=BG,由Rt△CDF≌Rt△CDG(HL),推出CF=CG,由△CDF是等腰直角三角形,得CD=CF,求出CF即可解决问题.
(3)分三种情形讨论①如图3中,当点P在上时,结论:PA+PB=PD;②如图4中,当点P在上时,结论:PA-PB=PD;③如图5中,当点P在上时,结论:PB-PA=PD.
试题解析:(1)结论:AD=BD.
理由:如图1中,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG,
,
∴DA=DB.
(2)如图2中,作DF⊥CA,垂足F在CA的延长线上,作DG⊥CB于点G,连接DA,DB.
∵∠AFD=∠BGD=90°,
在Rt
∴Rt△AFD≌Rt△BGD(HL),
∴AF=BG.
同理:Rt△CDF≌Rt△CDG(HL),
∴CF=CG.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵AC=6,AB=10,
∴BC==8,
∴6+AF=8﹣AF,
∴AF=1,
∴CF=7,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=45°,
∵△CDF是等腰直角三角形,
∴CD=,CF=7.
(3)①如图3中,当点P在上时,结论:PA+PB=PD.
理由:将△PDB绕点D逆时针旋转90°得到△FAD,
∵∠PAB+∠PBD=180°,∠FAD=∠PBD,
∴∠FAD+∠PAD=180°,
∴P、A、F共线,
∵∠F=∠DPB=∠BAD=45°,
∴△PDF是等腰直角三角形,
∴PF=PD,
∵PB=AF,
∴PF=PA+AF=PA+PB=PD.,
∴PA+PB=PD.
②如图4中,当点P在上时,结论:PA﹣PB=PD.
理由:在AP上取一点F,使得AF=PB,
在△FAD和△PBD中, ,
∴△FAD≌△PBD,
∴DF=DP,∠ADF=∠BDP,
∠FDP=∠ADB=90°,
∴△FDP是等腰直角三角形,
∴PF=PD,
∴PA﹣PB=PA﹣AF=PF=PD,
∴PA﹣PB=PD.
③如图5中,当点P在上时,结论:PB﹣PA=PD.(证明方法类似②).