题目内容

如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,12),(8,6),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q从点(1,0)出发,以相同速度沿x轴正方向运动,当P点到D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)正方形边长
 
,顶点C的坐标
 

(2)当P点在边AB上运动时,△OPQ的面积S与运动时间t(秒)的函数图象是如图②所示的抛物线的一部分,求点P,Q运动速度;
(3)求在(2)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标;
(4)如果点P、Q保持原速度速度不变,当点P沿A?B?C?D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,直接写出所有符合条件的t的值.
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分析:(1)如图,在直角三角形BFA中,根据A、B的坐标可知:AF=6,BF=8,因此AB=10,即正方形的边长为10.易证△ABF≌△BCG,因此CG=BF=8,AF=BG=6,因此CH=14,FG=14,即C点的坐标为(14,14);
(2)根据图象可知:当P在AB上运动时,总共用去的时间为10s,而AB=10,因此P的速度为1,Q与P的速度相同,因此Q的速度也是1;
(3)在三角形OPQ中,OQ=1+t,关键是求出OQ边上的高,可过P作PM⊥y轴于M,根据相似三角形APM和ABF可求出AM=
3
5
t,因此OM=12-
3
5
t,根据三角形的面积公式即可求出S,t的函数关系式.根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的t的值;
(4)本题要分四种情况进行讨论:
精英家教网①P在AB上,②P在BC上,③P在BC上,④P在AD上.
选两种情况进行说明:
①P在AB上,如图:在直角三角形APM中,根据∠APM的余弦值易得出PM=
3t
5
,如果OP=OQ,那么PM=
1
2
OQ,即
3
5
t=
1+t
2
,解得t=1.
③P在CD上,如图:在直角三角形PCR中,易知:CR=
4
5
CP=
4
5
(t-20),因此PM=RN=14-
4
5
(t-20)=30-
4
5
t,根据①的解题思路可知:PM=
1
2
OQ,即30-
4
5
t=
1+t
2
,解得t=
295
13

其它两种情况求解方法同①③.
解答:精英家教网解:(1)10,(14,14);

(2)由图象知,点P在AB上运动时间10,路程是10,所以点P,Q速度为1;

(3)作BE⊥x轴于E,BF⊥y轴于F,过P作PM⊥y轴于M,
由△APM∽△ABF易得OM=12-
3
5
t,
S=
1
2
(1+t)(12-
3
5
t)=-
3
10
t2+
57
10
t+6,
所以t=9.5时S有最大值.精英家教网
此时点P(7.6,6.3);

(4)t=1,t=
295
13
点评:本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形性质、三角形相似、图形面积的求法、等腰三角形的性质以及二次函数的应用等知识点.
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