题目内容

张大爷家有一块梯形形状的稻田（如图），已知：上底AD=400米，下底BC=600米，高h=300米，张大爷准备把这块稻田平均分给两个儿子（面积相等）．
（1）分割方法有无数种，请你帮助张大爷设计两种不同的分割方案，在图1、图2中分别画出来，并简单说明理由；
（2）如果用竹篱笆将分给两个儿子的稻田隔开，问：分割线在什么位置时，所用篱笆长度最短？请在图3中画出来，并求出此时篱笆的最短长度．
(1)方法与作图见解析.（2）田坎应砌在经过EF中点且与AD、BC垂直的线段GH的位置时最短．30米.

试题分析：（1）①利用上下底的中点分割，可分割成两个上下底分别相等的梯形；
②连接BD，利用BD的中点O，沿AO和CO分割，即可分割成两个面积相等的四边形ABCO和ADCO；
（2）利用垂线段最短，所以可取①中分割线的中点，过该点作底的垂线段即可，此时该线段等于梯形的高．
（1）方法一：分别取AD、BC的中点E、F，连接EF，线段EF就是所求作的分割线．

理由：∵AE=ED，BF=FC，
∴SABEF=（AE+BF）h=（ED+FC）h=SEFCD；
方法二：连接BD，在BD上取中点O，连接AO、CO，折线AOC可以把梯形分割为两个面积相等的图形．

理由：∵BO=OD，
∴S△ABO=S△AOD，S△BOC=S△DOC，
∴S'△ABO+S'△BOC=S'△AOD+S'△DOC，
同理，连接AC，取中点O，连接BO、OD，折线BOD可以把梯形分割为两个面积相等的图形；
方法三：取CD的中点G，过G作FH∥AB，与BC交于F，与AD的延长线交于点H．

可证：S'△DHG=S'△CFG，则过AF中点O且不穿越△DHG或△CFG或G点的直线均可把梯形面积等分；
（2）田坎应砌在经过EF中点且与AD、BC垂直的线段GH的位置时最短．

理由：∵O是EF的中点，
∴△EOG≌△FOH，
∴S'△EOG=S′△FOH，∴S′ABHG=S′GHDC，
此时，最短线段GH的长度等于高，即为30米．
练习册系列答案
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在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.
（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.
（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.
已知：如图，正方形ABCD，E，F分别为DC，BC中点．
求证：AE=AF．
五边形的内角和是（  ）
A．180°B．360°C．540°D．600°
如图，已知等腰梯形ABCD的底角∠B=45°，高AE=1，上底AD=1，则其面积为   ．
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．

（1）当四边形PQCM是平行四边形时，求t的值；
（2）当t为何值时，△PQM是等腰三角形？
（3）以PM为直径作⊙E，在点P、Q整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得⊙E与BC相切？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形的高AE为     cm.
如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为         ．
小明遇到这样一个问题：“如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．”
分析时，小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于 点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则这个正方形的边长为_______
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思 考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为_______．

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